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By Jean-Baptiste Hiriart-Urruty

L’étude mathématique des problèmes d’optimisation, ou de ceux dits variationnels de manière générale (c’est-� -dire, « toute scenario où il y a quelque selected � minimiser sous des contraintes »), requiert en préalable qu’on en maîtrise les bases, les outils fondamentaux et quelques principes. Le présent ouvrage est un cours répondant en partie � cette demande, il est principalement destiné � des étudiants de grasp en formation, et restreint � l’essentiel. Sont abordés successivement : los angeles semicontinuité inférieure, les topologies faibles, les résultats fondamentaux d’existence en optimisation ; Les stipulations d’optimalité approchée ; Des développements sur l. a. projection sur un convexe fermé, notamment sur un cône convexe fermé ; L’analyse convexe dans son rôle opératoire ; Quelques schémas de dualisation dans des problèmes d’optimisation non convexe structurés ; Une creation aux sous-différentiels généralisés de fonctions non différentiables.

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PRINCIPE VARIATIONNEL DE BORWEIN-PREISS 41 Il existe alors une suite (vk ) de points de H vérifiant les trois propriétés suivantes : (i) f (vk ) → f quand k → +∞ [(vk ) est aussi une suite minimisante pour f ] ; (ii) vk − xk → 0 quand k → +∞ [l’écart entre vk et xk se resserre au fur et à mesure que k augmente]. ∇G f (vk ) → 0 quand k → +∞ [condition nécessaire d’optimalité du 1er ordre asymptotique]. 14)] Démonstration : Pour k entier ≥ 1, soit εk := f (xk ) − f + k1 . Par construction, εk > 0, et par hypothèse εk → 0.

Soit (x k ) une suite minimisante pour f , c’est-à-dire telle f (x k ) → f quand k → +∞. 2. PRINCIPE VARIATIONNEL DE BORWEIN-PREISS 41 Il existe alors une suite (vk ) de points de H vérifiant les trois propriétés suivantes : (i) f (vk ) → f quand k → +∞ [(vk ) est aussi une suite minimisante pour f ] ; (ii) vk − xk → 0 quand k → +∞ [l’écart entre vk et xk se resserre au fur et à mesure que k augmente]. ∇G f (vk ) → 0 quand k → +∞ [condition nécessaire d’optimalité du 1er ordre asymptotique]. 14)] Démonstration : Pour k entier ≥ 1, soit εk := f (xk ) − f + k1 .

3 Différentiabilité de d S vs. unicité de la projection sur S / S et le fait Il y a un lien étonnant entre la différentiabilité de d S en x ∈ que x admette une projection sur S au plus. 12 Soit x ∈ / S. (i) Si d S est différentiable en x (au sens de Gâteaux suffit), alors le problème d’approximation (Px ) a au plus une solution. Si x = p S (x), alors : ∇d S (x) = x−x . 25) (ii) Réciproque lorsque H est de dimension finie. Si PS (x) est réduit à un seul élément, alors d S est différentiable en x (au sens de Fréchet même).

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