Download Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie: by Winfried Kaballo PDF

By Winfried Kaballo

In diesem Buch finden Sie eine Einführung in die Funktionalanalysis und Operatortheorie auf dem Niveau eines Master-Studiengangs.

Ausgehend von Fragen zu partiellen Differenzialgleichungen und Integralgleichungen untersuchen Sie lineare Gleichungen im Hinblick auf Existenz und Struktur von Lösungen sowie deren Abhängigkeit von Parametern. Dazu lernen Sie verschiedene Konzepte und Methoden kennen: Distributionen, Fourier-Transformation, Sobolev-Räume, Dualitätstheorie im Rahmen lokalkonvexer Räume, topologische Tensorprodukte, exakte Sequenzen, Banachalgebren, Fredholmoperatoren, Funktionalkalküle sowie selbstadjungierte Operatoren und ihre Rolle in der Quantenmechanik.

Das Buch ist ausführlich und leicht verständlich geschrieben, die Konzepte und Resultate werden durch Abbildungen und viele Beispiele illustriert. Anhand zahlreicher Übungsaufgaben (mit Lösungen auf der web site zum Buch) können Sie Ihr Verständnis des Stoffes testen, anhand anderer diesen selbstständig weiterentwickeln.

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F¨ ur ein Einselement δ ∈ L1 (Rn ) folgte aus δ ∗ ϕ = ϕ insbesondere Rn δ(y) ϕ(−y) dy = ϕ(0) f¨ ur n alle ϕ ∈ Cc (R ) , d. h. es m¨ usste supp δ = {0} und Rn δ(y) dy = 1 gelten. Eine solche Funktion gibt es offenbar nicht, wohl aber eine Distribution (vgl. Formel (23) auf S. 38). Einen wichtigen Ersatz“ f¨ ur das fehlende Einselement in L1 (Rn ) liefert die folgende ” Begriffsbildung: 30 2 Distributionen Dirac-Folgen. a) Eine Folge (δk ) in L1 (Rn ) heißt Dirac-Folge oder eine approximative Eins von L1 (Rn ) , wenn sie die folgenden Eigenschaften hat: δk ≥ 0 , Rn δk (x) dx = 1 , lim δk (x) dx k→∞ | x |≥A = 0 f¨ ur alle A > 0 .

Es m¨ usste supp δ = {0} und Rn δ(y) dy = 1 gelten. Eine solche Funktion gibt es offenbar nicht, wohl aber eine Distribution (vgl. Formel (23) auf S. 38). Einen wichtigen Ersatz“ f¨ ur das fehlende Einselement in L1 (Rn ) liefert die folgende ” Begriffsbildung: 30 2 Distributionen Dirac-Folgen. a) Eine Folge (δk ) in L1 (Rn ) heißt Dirac-Folge oder eine approximative Eins von L1 (Rn ) , wenn sie die folgenden Eigenschaften hat: δk ≥ 0 , Rn δk (x) dx = 1 , lim δk (x) dx k→∞ | x |≥A = 0 f¨ ur alle A > 0 .

3) hat b) Nun sei f ∈ Lp (Ω) . Mit der kompakten Aussch¨ man f − χKj f Lp → 0 aufgrund des Satzes u ¨ber majorisierte Konvergenz. Zu α > 0 gilt also f − χKj f Lp ≤ α f¨ ur ein j ∈ N . 4 folgt weiter ρε ∗ (χKj f ) ∈ D (Ω) und χKj f − ρε ∗ (χKj f ) Lp ≤ α f¨ ur gen¨ ugend kleine ε > 0 . ♦ Wir konstruieren nun C ∞ -Abschneidefunktionen (vgl. Abb. 2): 1 η 0 Ω K Ω Abb. 6 Es seien K ⊆ Rn kompakt, Ω ⊆ Rn offen mit K ⊆ Ω und d := d(K, Ωc ) > 0 die Distanz von K zum Komplement von Ω . Dann gibt es eine Funktion η ∈ D (Ω) mit 0 ≤ η ≤ 1 , supp η ⊆ Ω und η(x) = 1 f¨ ur x ∈ K sowie | ∂ α η(x) | ≤ Cα d−| α | χΩ (x) f¨ ur alle α ∈ Nn 0 , (10) angt.

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